【Édition People's Education Press】Mathématiques du collège, 3e année, semestre supérieur : La notion de rotation : des phénomènes de la vie quotidienne à l'abstraction mathématique

Imaginez une flocon de neige tomber dans votre paume, ou une roue hydraulique tourner rapidement au milieu d'un courant. Derrière ces phénomènes se cache une règle géométrique unifiée. Ce cours vous aidera à franchir les observations intuitives pour définir mathématiquement la « rotation » et explorer la propriété étonnante selon laquelle les figures restent inchangées lors de leur rotation.

I. Définition mathématique de la symétrie de rotation

En géométrie, la rotation n'est pas un mouvement désordonné, mais une transformation précise. Selon la définition du manuel :

Définition : Si une figure tournée d'un angle α autour d'un point O donne une figure qui coïncide avec l'image initiale, on dit que cette figure présente une symétrie de rotation d'angle α par rapport au point O.

Cette définition marque notre passage du processus dynamique (en rotation) vers une propriété statique (symétrie). Par exemple, si les pales d'une turbine tournent de 120° autour de leur axe central et coïncident avec leur état initial, il s'agit d'un cas typique de symétrie de rotation de 120°.

II. Observation et synthèse : Les éléments de la rotation

En comparant les motifs architecturaux (statiques) aux pales mécaniques (dynamiques), nous pouvons identifier les trois éléments fondamentaux d'une transformation de rotation :

Centre de rotation: le point dont la position reste fixe pendant la rotation.
Direction de rotation: horaire ou anti-horaire.
Angle de rotation: l'angle formé entre les points correspondants et le centre de rotation.

III. Transfert méthodologique : L’approche numérique et géométrique

Lorsque nous avons étudié les fonctions quadratiques, nous avons déduit leurs propriétés en observant leurs graphiques. Dans l'étude des transformations de rotation, nous appliquons également cetteapproche numérique et géométrique: en analysant les trajectoires des figures (forme) pour déduire leurs propriétés géométriques (nombre).

🎯 Règle fondamentale : Propriétés de la rotation

1. Les distances entre les points correspondants et le centre de rotation sont égales ;
2. L'angle formé par les segments reliant chaque paire de points correspondants au centre de rotation est égal à l'angle de rotation ;
3. Les figures avant et après rotation sont congruentes.

QUESTION 1

Parmi les phénomènes de la vie quotidienne suivants, lequel n'est pas une transformation de rotation ?

Le mouvement des aiguilles d'une montre

Le mouvement des lames d'un ventilateur électrique

Le mouvement vertical des ascenseurs

Le mouvement du volant d'une voiture

QUESTION 2

Si un carré tourne autour de son centre, quel est le plus petit angle de rotation nécessaire pour qu'il coïncide avec lui-même ?

45°

90°

180°

360°

QUESTION 3

Parmi les affirmations suivantes sur les propriétés de la rotation, laquelle est fausse ?

Les formes et tailles des figures restent inchangées avant et après rotation

Le centre de rotation garde sa position invariable durant la transformation

Les distances entre les points correspondants et le centre de rotation ne sont pas nécessairement égales

L'angle formé par les segments reliant chaque paire de points correspondants au centre de rotation est égal à l'angle de rotation

QUESTION 4

Dans un repère cartésien, quelle est la coordonnée du point A(3, 4) après une rotation de 180° autour de l'origine ?

(-3, 4)

(3, -4)

(-3, -4)

(-4, -3)

QUESTION 5

Quel est l'angle minimal de rotation autour de son centre pour qu'un triangle équilatéral coïncide avec lui-même ?

60°

120°

180°

240°

Recherche intégrée : Du mouvement dynamique à l'optimisation géométrique

[Application interdisciplinaire] Comme indiqué sur la figure, une petite balle roule du sommet A jusqu'au point B d'un plan incliné. (1) Écrivez l'expression analytique de la distance parcourue $s$ (m) en fonction du temps $t$ (s) (indice : $s = \bar{v} \times t$, $\bar{v} = \frac{v_0 + v_t}{2}$). (2) Si la longueur du plan incliné est de 3 m, combien de temps faut-il à la balle pour atteindre le bas ?

Solution :
(1) 设小球做初速度为 0 的匀加速运动，加速度为 $a$。则 $v_t = at$，代入提示：$\bar{v} = \frac{0 + at}{2} = \frac{1}{2}at$。故 $s = (\frac{1}{2}at) \cdot t = \frac{1}{2}at^2$。这是一个二次函数模型。
(2) 需根据具体加速度 $a$ 计算。若题目隐含 $a=2/3$ (常见教材数值)，则 $3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} t^2 \implies t^2 = 9 \implies t = 3$秒。

[Optimisation géométrique] 在 Rt△ABC 中，∠A=30°, ∠C=90°, AB=12。要在内部剪出矩形 CDEF，顶点分别在各边上。要使矩形面积最大，点 E 应选在何处？

Solution :
Soit $CD = x$. Alors, dans le triangle rectangle ABC, $BC = 6$, $AC = 6\sqrt{3}$. En utilisant les triangles semblables $\triangle BDE \sim \triangle BCA$, on obtient : $\frac{DE}{AC} = \frac{BD}{BC} \implies \frac{DE}{6\sqrt{3}} = \frac{6-x}{6} \implies DE = \sqrt{3}(6-x)$.
L'aire $S = CD \cdot DE = x \cdot \sqrt{3}(6-x) = -\sqrt{3}x^2 + 6\sqrt{3}x$.
Il s'agit d'une parabole orientée vers le bas. L'aire est maximale lorsque $x = -\frac{6\sqrt{3}}{2(-\sqrt{3})} = 3$. À ce moment, $CD = 3$, donc D est le milieu de BC. En conséquence,le point E doit être choisi au milieu de l'hypoténuse AB.

[Symétrie des coordonnées] Parmi les points suivants, lesquels sont symétriques par rapport à l'origine $O$ ?
A(-5, 0), B(0, 2), C(2, -1), D(2, 0), E(0, 5), F(-2, 1), G(-2, -1)

Solution :
Deux points sont symétriques par rapport à l'origine si leurs coordonnées vérifient $(x, y) → (-x, -y)$. Vérifions chaque point :
Le point symétrique de C(2, -1) devrait être (-2, 1), qui est précisément le point F.
Ainsi, C et F sont symétriques par rapport à l'origine.

[Question ouverte] Pouvez-vous donner quelques exemples de rotation de figures planes ? Quelles sont les propriétés de la rotation des figures planes ?

Réponse-type :
Exemples : Rotation d'un moulin à vent, rotation des aiguilles d'une horloge, rotation du volant d'une voiture, rotation d'un manège, usage d'une clé pour visser un boulon, etc.
Propriétés :
1. Les figures avant et après rotation sont congruentes (même forme et même taille) ;
2. Les distances entre les points correspondants et le centre de rotation sont égales ;
3. L'angle formé par toute paire de points correspondants et le centre de rotation est toujours égal à l'angle de rotation.